Álgebra

Álgebra Linear – Matrizes – Autovalores (exercício 4)

Questão Seja A uma matriz quadrada e ε > 0. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes: a) $$\lambda$$ é autovalor de $$A+B$$, para alguma matriz $$B$$, com $$||B||_{2}\leq\epsilon$$. b) Existe $$||v||_{2}=1$$ tal que $$||A-\lambda I||_{2}\leq\epsilon$$. c) $$||(A-\lambda I)^{-1}||_{2}\leq 1/\epsilon$$. Demonstração: (a) implica (b): Por hipótese, existe $$u$$ tal que Leia mais…

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Álgebra

Álgebra Linear – Matrizes – Autovalores (exercício 3)

Questão Sejam $$d\in\mathbb{R^{n}}$$ com todos os seus valores distintos,$$ v\in\mathbb{R^{n}}$$ com todos os elementos não nulos e $$a\in\mathbb{R}$$, e defina $$A=\left(\begin{array}{rrr} D&v\\ v^{T}&a \end{array}\right)$$, com $$D=diag(d_{1},…,d_{n}$$. Se $$\lambda\in\Lambda(A)$$, prove que: a) $$D-\lambda I$$ é não singular; b) $$\sum^{n}_{i=1}\frac{v_{i}^{2}}{d_{i}-\lambda}=a-\lambda$$. Demonstração: 1) Cálculo do determinante de $$A$$. Pela definição, $$det(A)=\sum_{\sigma}a_{1i_{1}}\cdot …\cdot a_{n+1 Leia mais…

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Álgebra

Álgebra Linear – Matrizes – SVD (exercício 1)

Questão Seja $$A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$$. Prove que $$\sigma_{1}=sup_{x,y}\frac{y^{T}Ax}{||y||_{2}||x||_{2}}$$, para $$x\in\mathbb{R^{n}} e $$y\in\mathbb{R^{m}}$$, onde $$sigma_{1}$$ é o maior valor singular da SVD. Demonstração: Pelo teorema da SVD, $$A=U\Sigma V^{T}$$Redução da expressão: \[y^{T}Ax=y^{T}U\Sigma V^{T}x=(U^{T}y)^{T}\Sigma (V^{T}x)\]. Poremos $$u=U^{T}y$$ e $$v=V^{T}x$$. Por hipótese do teorema da existência da SVD, as matrizes $$U$$ e $$V$$ Leia mais…

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Álgebra

Álgebra Linear – Matrizes – Autovalores (exercício 1)

Seja A uma matriz hermitiana de ordem $$n$$, com coeficientes complexos. Defina $$r(x)=x^{*}Ax$$. Prove que $$max_{||x||=1}\{r(x)\}=max\{\Lambda(A)\}$$. Prove o resultado análogo para o mínimo. Observação: $$\Lambda(A)$$ é o conjunto de todos os autovalores em módulo da matriz $$A$$. Solução: Pelo teorema espectral, decompomos a matriz na forma $$A=UDU^{*}$$, onde $$D$$ é Leia mais…

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Álgebra

Álgebra Linear – Ortogonalidade da Matriz de Householder

Questão Prove que a matriz de Householder, $$H=I-\frac{2}{|u|^{2}}\cdot u\otimes u^{T}$$, é uma matriz ortogonal. Observação: O produto exterior é igual à matriz produto de coordenadas do vetor $$u$$, isto é, $$u\otimes u^{T}=[u_{i}u_{j}]$$, onde $$u=(u_{1},…,u_{n})\neq 0$$. Demonstração: Definição da matriz de Householder: $$H=\left\{\begin{array}{rc} 1-\alpha\cdot u_{i}^{2},&\mbox{se}\quad i=j,\\ -\alpha\cdot u_{i}u_{j}, &\mbox{se}\quad i\neq j. Leia mais…

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Geometria Analítica

Geometria Analítica e Vetores – Matrizes

Exercício Mostre que as matrizes $$A=\left[\begin{array}{cc}1&\frac{1}{y}\\y&y \end{array}\right]$$ em que y é uma número real não nulo, verificam a equação $$X^{2}=2X$$. Solução: Basta substituirmos os valores na equação indicada. $$A^{2}=\left[\begin{array}{cc}1&\frac{1}{y}\\y&y \end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{cc}1&\frac{1}{y}\\y&y \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2&\frac{2}{y}\\2y&2 \end{array}\right]=2\cdot\left[\begin{array}{cc}1&\frac{1}{y}\\y&y \end{array}\right]=2A$$.   Exercício Sejam $$A=\left(\begin{array}{ccc}1&-2&-1\\1&0&-1\\4&-1&0 \end{array}\right)$$ e $$X=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z \end{array}\right)$$. Verifique que a) Verifique que $$xA_{1}+yA_{2}+zA_{3}=AX$$, sendo Leia mais…

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