Análise Matemática

Análise Matemática – Topologia da Reta – Conjuntos Fechados

Questão Prove que, para todo $$X\in\mathbb{R}$$, vale $$\overline{X}=X\cup \partial(X)$$. Conclua que $$X$$ é fechado se, e somente se, $$X\supset \partial(X)$$. Solução: Se $$x\in X$$, então é válido, para todo $$\delta >0$$: $$B(x,\delta)\cap \neq\emptyset$$, isso prova que $$X\subset\overline{X}$$. Ainda mais: se $$x\in\partial X$$, então, para todo $$\delta>0$$, tem-se $$B(x,\delta)\cap X\neq\emptyset$$ e $$B(x,\delta)\cap Leia mais…

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Análise Matemática

Análise Matemática – Topologia da Reta – Conjuntos Abertos

Observação (notação para a vizinhança de um ponto): $$V_{(\delta)}(x)=\{p\in\mathbb{R}; |x-p|<\delta\}$$. Questão Prove que, para todo $$X\subset\mathbb{R}$$, tem-se $$int(int(X))=int(X)$$ e conclua que $$int(X)$$ é um conjunto aberto. Solução: Suponha que exista $$p\in int(X)$$ tal que $$p\notin int(int(X))$$. Por hipótese, existe $$\epsilon_{0}>0$$ tal que $$V_{\epsilon_{0}}(p)\subset X$$. Pela afirmação feita, ($$p$$ não é Leia mais…

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