Teoria dos Conjuntos

Operações de Conjuntos

União e Intersecção

Definição: Sejam dois conjuntos $$A$$ e $$B$$, a união é traduzida da seguinte maneira: \[A\cup B =\{x;x\in A\;ou\; x\in B\}\].

Definição: Sejam dois conjuntos $$A$$ e $$B$$, a intersecção é traduzida da seguinte maneira: \[A\cap B =\{x;x\in A\;e\; x\in B\}\].

O conectivo ou expressa que o elemento pode ser tomado de qualquer região dos conjuntos em questão. O conectivo e expressa a simultaneidade, ou seja, indica que o elemento pertence aos dois conjuntos, ao mesmo tempo.

Inclusão

Definição: Sejam dois conjuntos $$A$$ e $$B$$, a inclusão de conjuntos é denotada por $$A\subset B$$. Isto traduz que $$A$$ é parte de $$B$$, ou, em outras palavras, $$A$$ é subconjunto de $$B$$.

A relação de inclusão carrega as seguintes propriedades algébricas:

i. $$A\subset A$$ — Propriedade Reflexiva;

ii. se $$A\subset B$$ e $$B\subset A$$, então $$A=B$$ — Propriedade Antissimétrica;

iii. se $$A\subset B$$ e $$B\subset A$$, então $$A\subset C $$— Propriedade Transitiva.


Propriedades Algébricas dos Conjuntos

União

  • Associativa: $$A\cup (B\cup C) = (A\cup B)\cup C$$
  • Comutativa: $$A\cup B = B\cup A$$
  • Distributiva em relação à intersecção: $$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$$
  • União com o vazio: $$A\cup\emptyset = A$$.
  • União com o complementar: $$A\cup \bar{A}=U$$ (conjunto universo).

Intersecção

  • Associativa: $$A\cap (B\cap C) = (A\cap B)\cap C$$
  • Comutativa: $$A\cap B = B\cap A$$
  • Distributiva em relação à união: $$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$$
  • Intersecção com o complementar: $$A\cap\bar{A} = \emptyset$$.
  • Intersecção com o universo: $$A\cap U=A$$.

Diversas

  • Lei da Idempotência: $$A=A\cup A=A\cap A$$.
  • Lei da Absorção: $$A=A\cup (A\cap B)= A\cap (A\cup B)$$.
  • Lei de Morgan: $$\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap\bar{B}$$. [Demonstração]
  • Lei de Morgan: $$\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup\bar{B}$$. [Demonstração]

Exercícios