Teoria dos Números – Divisibilidade (exercício 1)

Questão

Divisibilidade por 9.

Para $$n\in\mathbb{N}$$, $$4^{n}+6n-1$$ é divisível por 9.

 

Solução:

Nota-se que, para $$n=1$$, tem-se $$4^{1}+6\cdot 1 – 1 = 9$$, que é um número divisível por nove. Agora, assumimos a hipótese de indução e provaremos para o caso $$n+1$$.

Passo indutivo: Provar que $$4^{n+1}+6(n+1)-1$$ é divisível por 9.

 

Observe que $$4^{n+1}+6(n+1)-1 = 4\cdot 4^{n}+6n+5$$.

É possível manipular a hipótese de indução, a fim de obter-se o resultado requerido:

\[4\cdot (4^{n}+6n-1)=9\alpha \Longrightarrow 4^{n+1}+24n-4 = 9\beta\Longrightarrow 4^{n+1}+18n+6n+5-9 = 9\beta\Longrightarrow 4^{n+1}+6n+5 =9\beta + 9 – 18n = 9\theta\].

Finalmente, basta notar que $$4^{n+1}+6n+5 = 4^{n+1}+6(n+1)-1$$, a fim de concluir que

\[4^{n+1}+6n+5 =9\theta ,\]

ou seja, esta expressão é divisível por 9.

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